Converxencia a longo prazo: a lei dos grandes números na ruleta
Como se vai asentando a media arredor de −2,70%, e por que iso tarda máis do que a intuición fai pensar.
A perda media por xirada converxe a −1/37 á medida que se acumulan as xiradas, cunha dispersión que diminúe como 1/√N. Tras 1 000 xiradas ao vermello, a media adoita estar dentro dun ±3% do seu valor esperado.
Lei dos grandes números
A media acumulada de apostas independentes tende ao valor esperadomatemáticasValor esperadoO resultado medio por aposta a longo prazo. −1/37 do importe apostado en todas as apostas europeas estándar.Ler todo →. Despois de N xiradas de aposta simple cunha unidadediñeiroUnidadeA aposta base coa que traballa un sistema ou un xogador. As progresións descríbense en unidades para que valgan en calquera mesa.Ler todo →, o resultado medio por xirada ten un valor esperado de −1/37 e unha desviación típicamatemáticasDesviación típicaA raíz cadrada da varianza; a distancia típica dun resultado respecto ao valor esperado.Ler todo → de 1/√N. Con N = 100 esa dispersión é o 10% do importe apostado, case catro veces o sinal do 2,7%. Con N = 1 000 é do 3,2%, máis ou menos igual que o sinal. Con N = 10 000 é do 1%, e a vantaxe vese con claridade. A vantaxe é invisible nunha sesión e inconfundible nun ano.
O que converxe e o que non
A media por xirada converxe. O total non: afástase cada vez máis de cero á medida que N crece, arredor dun 2,7% de N en valor esperado, cunha dispersión de √N arredor dese valor. Un xogador que levase 10 000 xiradas a $10 ten unha perda esperada de $2 700, con $1 000 arriba ou abaixo. A proporción acumulada de vermellosapostaVermelloAposta simple aos 18 números vermellos. En francés: rouge.Ler todo → hai tempo que se asentou preto do 48,65%; o saldo acumulado non se asentou en ningún sitio.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Por que falla a intuición
A xente espera que a vantaxe se note axiña porque 2,70% soa a moito, e espera que as rachas longas se «compensen» porque a lei dos grandes númerosmatemáticasLei dos grandes númerosA media de resultados independentes converxe no valor esperado á medida que medra o número de ensaios.Ler todo → di que as medias converxen. As dúas intuicións erran na escala: a vantaxe é pequena fronte á varianzamatemáticasVarianzaUnha medida de canto se dispersan os resultados arredor do valor esperado. Alta no pleno, baixa nas apostas simples.Ler todo → dunha soa xirada (σ = 1 unidade fronte a EV = 0,027), así que fan falta (1/0,027)² ≈ 1 400 xiradas para que sexa visible a unha sigma. E a converxencia da media non fai nada por devolver o total ao seu sitio: só dilúe as flutuacións pasadas.
Converxencia noutras apostas
Para os plenosapostaPlenoUn só número; paga 35:1.Ler todo → σ = 5,84, así que o mesmo cálculo dá (5,84/0,027)² ≈ 47 000 xiradas para que a vantaxe chegue a unha sigma. Quen aposta a pleno pode xogar durante anos sen que a vantaxe se poida distinguir da sorte nos seus propios rexistros, e paga exactamente o mesmo 2,70% ca quen aposta ao vermello e a ve en poucas semanas.
Consecuencias para probar sistemas
Quen afirme que un sistema funciona debería poder amosalo con 10 000 ou máis xiradas e cunha media positiva documentada. Con 1 000 xiradas, unha media positiva nunha aposta simple é un suceso que ocorre unha vez de cada cinco baixo a hipótese nula; con 100 xiradas, é case un cara ou cruz. Os simuladores deste sitio executan 2 000 sesións da duración que escollas nun segundo, o que é máis evidencia ca calquera testemuño.
Fórmula
Preguntas
A probabilidadematemáticasProbabilidadeA posibilidade dun resultado, de 0 a 1 ou do 0% ao 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Ler todo → de volver ir por diante cae cara a cero á medida que xogas. O total baixa sen límite.
Non. Significa que as flutuacións pasadas pasan a ser unha fracción máis pequena dunha mostra maior.
Nunha aposta simple, unhas 10 000 antes de que a vantaxe se vexa con claridade. Nos plenos, unhas 50 000.
Xogos de matemáticas
Proba primeiro por conta túa. Cada solución está pregada; ábrea cando esteas listo.
Dous amigos xogan 20 roldas dun xogo xustomatemáticasXogo xustoUn xogo no que ningunha das partes ten vantaxe: toda aposta ten un valor esperado de cero.Ler todo →, unha moeda ao aire ou vermelloapostaVermelloAposta simple aos 18 números vermellos. En francés: rouge.Ler todo → contra negroapostaNegroAposta simple aos 18 números negros. En francés: noir.Ler todo → con devolución dos cerosrodaCeroA única casela verde, que non está cuberta por ningunha aposta simple, de ducia nin de columna; a orixe da vantaxe da casa. Tamén: cero único, 0.Ler todo →, e levan un marcador acumulado. Conta as roldas durante as cales cada un vai por diante (un empate conta para quen liderou xusto antes). Que é máis probable: que o liderado se reparta 10 roldas contra 10, ou que un amigo lidere as 20?
Amosar a solución
Resposta É moito máis probable que un amigo lidere as 20 roldas: 35,2%, contando calquera dos dous, fronte ao 6,1% dun reparto igual de 10 a 10.
A probabilidade de que un marcador xusto estea igualado despois de 2k roldas é u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 despois de 10 roldas e 0,176 despois de 20. Un resultado clásico, a lei do arcoseno, di que a probabilidade de que un amigo determinado lidere exactamente 2k de 2n roldas é u(2k) × u(2n − 2k).
Liderar as 20: u(20) × u(0) = 0,176 para cada amigo, 35,2% para calquera dos dous. Un reparto igual: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, o reparto menos probable de todos.
Así que nun xogo xusto o liderado cambia de mans raramente. Un xogador que estivo por diante toda a noite, ou por detrás toda a noite, non viu nada raro, e iso non di nada da roda nin da habilidade. Epstein (2013) dá a mesma lei para xogos máis longos: a metade das veces o lado con máis sorte lidera durante máis do 85% do xogo.
Pausa de humor
A media converxe. O total, simplemente, vaise.
Fontes
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.