A desviación típica na ruleta
A desviación típica na ruleta, a raíz cadrada da varianzamatemáticasVarianzaUnha medida de canto se dispersan os resultados arredor do valor esperado. Alta no pleno, baixa nas apostas simples.Ler todo →, é a distancia típica entre un resultado e o seu valor esperado.
Por $1 apostado, σ é 5,84 nun pleno e 1,00 no vermello. Multiplica polo importe e pola raíz cadrada do número de xiradas para obter a dunha sesión.
Regra práctica
Preto de dous terzos das sesións quedan a menos dunha σ do valor esperado e o 95% a menos de dúas. En 100 xiradas ao vermelloapostaVermelloAposta simple aos 18 números vermellos. En francés: rouge.Ler todo → a $10 (esperado −$27, σ = $100), a maioría das sesións caen entre −$127 e +$73, e case todas entre −$227 e +$173. Un resultado fóra dese intervalo non proba nada, agás que unha sesión de cada vinte queda fóra del.
Por que √N
A perda esperadamatemáticasPerda esperadaO valor esperado multiplicado polo total apostado; o que se perde de media nunha sesión ou nun período.Ler todo → crece en proporción a N; a dispersión crece en proporción a √N. Con N pequeno manda a dispersión e as sesións son como lanzar unha moeda cunha lixeira inclinación. Con N grande a perda supera a dispersión. O punto de cruzamento, onde a perda esperada iguala unha desviación típicamatemáticasDesviación típicaA raíz cadrada da varianza; a distancia típica dun resultado respecto ao valor esperado.Ler todo →, está en N = (σ/vantaxe)² = (1/0,027)² ≈ 1 370 xiradas nas apostas simples e (5,84/0,027)² ≈ 46 800 nos plenosapostaPlenoUn só número; paga 35:1.Ler todo →. Por debaixo desas cifras decide a sorte; por riba, decide a vantaxe.
Como usala
Para xulgar se unha sesión foi inusual, calcula (resultado − EV)/σ. Quen aposta $10 ao vermello e remata 100 xiradas con +$150 está a (150 + 27)/100 = 1,77σ, un resultado que se dá unha vez de cada 25: sorte, nada notable. Quen aposta a pleno co mesmo +$150 está a 0,3σ: unha noite normal. O mesmo resultado en dólares significa cousas distintas segundo a aposta.
Erro estándar dunha proporción
A mesma aritmética di cantas xiradas fan falta para ver a vantaxe nos datos. O erro estándar dunha proporción de acertos observada é √(p(1 − p)/N). Para o vermello con N = 1 000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. A diferenza entre unha moeda xusta e o vermello é do 1,35%, así que despois de 1 000 xiradas aínda non podes distinguilos con seguridade. Despois de 10 000 o erro estándar é do 0,5% e xa si. Tamén por iso detectar o nesgo dunha roda esixe tantas xiradas.
Unha advertencia sobre a asimetría
Os resultados a pleno están moi lonxe de seguir unha distribución normal nunha sesión curta: a maioría das sesións son un −$10 constante por xirada con saltos ocasionais de +$350. A regra de ±1σ describe ben a dispersión pero mal a forma ata que N chega aos centos. Nas apostas simplesapostaAposta simpleVermello/negro, impar/par, baixos/altos. 18 números; paga 1:1.Ler todo → a aproximación normal é boa a partir de preto de 30 xiradas.
Fórmula
Preguntas
Demostra que xogaches unhas 40 sesións, ou que che tocou a afortunada de cada corenta. Repite o experimento.
Oscila cada vez menos: o erro estándar da media é σ/√N. Con N = 10 000 é o 1% do importe.
Xogos de matemáticas
Proba primeiro por conta túa. Cada solución está pregada; ábrea cando esteas listo.
En 100 xiradas dunha roda europea, unha unidadediñeiroUnidadeA aposta base coa que traballa un sistema ou un xogador. As progresións descríbense en unidades para que valgan en calquera mesa.Ler todo → ao vermelloapostaVermelloAposta simple aos 18 números vermellos. En francés: rouge.Ler todo → vai gañando con polo menos 51 vitorias, e unha unidade a plenoapostaPlenoUn só número; paga 35:1.Ler todo → vai gañando se o seu número sae polo menos 3 veces. Usa a curva normal para estimar ambas probabilidades e compáraas despois coas respostas exactas.
Amosar a solución
Resposta Vermello: a curva normal dá 35,6% e a resposta exacta é 35,5%. O pleno: a curva normal dá 55,0% e a exacta é 50,9%. O atallo funciona para o vermello e falla para o número solto.
Vermello: as vitorias son de media 100 × 18/37 = 48,6, cunha dispersión de √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. Ir gañando significa 51 ou máis; o punto medio, 50,5, está 0,37 dispersións por riba da media, e a curva normal pon un 35,6% por riba. Sumar as probabilidades exactas de 51, 52 … 100 vitorias dá 35,5%.
Pleno: os acertos son de media 100/37 = 2,70, cunha dispersión de √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Tres ou máis acertos significa por riba de 2,5, 0,12 dispersións por baixo da media: 55,0% pola curva normal. O valor exacto é 1 menos as probabilidades de 0, 1 e 2 acertos, 6,5% + 17,9% + 24,7%, o que deixa 50,9%.
A curva normal necesita moitos resultados a ambos os dous lados da media. O vermello ten iso despois de 100 xiradas; un número que acerta de media menos de tres veces non. A curva mesmo dá 8,7% a «ningún acerto», cando a probabilidade real é 6,5%. Taylor (2021) pon a binomial e a curva normal lado a lado do mesmo xeito.
Pausa de humor
Unha sesión de cada vinte queda fóra das dúas sigmas. Sempre hai alguén na cola.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.