Problema: a roda dos aniversarios
Cantas xiradas hai que agardar ata que se repita algún número? Moitas menos do que a maioría imagina.
O problema do aniversario nunha roda de 37 caselasequipamentoCaselaCada un dos 37 compartimentos numerados do rotor. Tamén: oco, cela.Ler todo →: con só 8 xiradas hai unha probabilidade maior ca a metade de que algún número xa saíse dúas veces. Os xogadores len as repeticións como patróns; son o comportamento esperado dunha roda equilibrada.
O problema
Fai xirar unha roda europea equilibrada. Cantas xiradas fan falta para que a probabilidadematemáticasProbabilidadeA posibilidade dun resultado, de 0 a 1 ou do 0% ao 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Ler todo → de que polo menos dúas xiradas amosasen o mesmo número supere a metade? A maioría dos xogadores supón que arredor de 18 ou 19, a metade de 37. A resposta é 8.
A solución
Calcula a probabilidade de que non haxa repetición e réstaa de un. Despois de k xiradas, p(todos distintos) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Para k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, así que p(algunha repetición) ≈ 0,56. Para k = 14 é 0,93; para k = 20 é 0,996. A intuición falla porque o número de pares de xiradas medra como k², e calquera par pode coincidir.
Por que importa na mesa
Un panel de resultados cos últimos 20 números case sempre amosará polo menos unha repetición, a miúdo dúas ou tres. Os xogadores ven «o 17 saíu dúas veces en dez xiradas» e conclúen que o 17 está quente; a aritmética do aniversario di que unha repetición en dez xiradas ocorre o 74% das veces e que o número repetido é aleatorio. O patrón é real; o significado non.
O problema complementario
Cantas xiradas ata que un número concreto, digamos o 17, saia dúas veces? É unha pregunta distinta cunha resposta moito maior: a espera media é de 74 xiradas, e a probabilidade de dous 17 en 20 xiradas é de arredor do 10%. A diferenza entre «algún número se repite» (8 xiradas) e «este número se repite» (74 xiradas) é toda a diferenza entre un patrón que notas despois e unha predición que fas de antemán.
Próbao ti
Executa o xogo de demostración durante dez xiradas e mira o historial. Normalmente haberá unha repetición. Execútao outra vez. O número repetido será distinto. Fai isto dez veces e terás visto o problema do aniversariomatemáticasProblema do aniversarioCantas persoas fan falta para que dúas compartan probablemente aniversario, ou cantas xiradas para que un número probablemente se repita. Nunha roda de 37 caselas abondan 8 xiradas para que unha repetición sexa máis probable ca non.Ler todo →; faino mil veces (os simuladores pódeno facer) e terálo medido.
Fórmula
Preguntas
Exactamente, con 37 caselas en vez de 365 días. 23 persoas dan un 50% para os aniversarios; 8 xiradas dan un 56% para a roda.
50% despois de arredor de 19 xiradas. Segue sendo rutina.
Non. Miles de xiradas dunha roda si; unha repetición nunca.
Xogos de matemáticas
Proba primeiro por conta túa. Cada solución está pregada; ábrea cando esteas listo.
Un panel de resultados xunto a unha roda americana amosa as últimas 16 xiradas. Que probabilidade hai de que ningún número apareza dúas veces?
Amosar a solución
Resposta Ao redor do 2,5%: preto de 39 paneis de cada 40 amosan polo menos unha repetición.
Vai xirada por xirada. A primeira pode ser calquera. A segunda ten que evitala: 37 posibilidades de 38. A terceira ten que evitar as dúas: 36 de 38. A décimo sexta ten que evitar quince números: 23 de 38.
Multiplica: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Un panel sen repeticións é o raro. Un panel con repetición non di nada sobre a roda.
En dez xiradas dunha roda europea, que probabilidade hai de que o 17 saia exactamente cinco veces? De que algún número, calquera, saia cinco ou máis veces? E de que algún número saia polo menos tres veces en catro xiradas?
Amosar a solución
Resposta O 17 exactamente cinco veces: 1 de cada 315 576. Algún número cinco ou máis veces: ao redor de 1 de cada 8 333. Algún número tres ou máis veces en catro xiradas: 1 de cada 349.
O 17 cinco veces: escolle cales cinco das dez xiradas, 252 formas, cada unha con probabilidade (1/37)⁵ × (36/37)⁵. En conxunto, 1 de cada 315 576.
Algún número: cada un dos 37 números ten unha probabilidade de 1 de cada 308 325 de cinco ou máis acertos, o que dá 37 en 308 325, ou 1 de cada 8 333. O caso raro de dous números con cinco acertos cada un cóntase dúas veces, pero quitalo non cambia nada a esta precisión.
Tres veces en catro xiradas: para un número, 4 × 36 + 1 = 145 dos 37⁴ resultados posibles; para calquera dos 37 números, 145/37³ = 1 de cada 349.
Para unha roda de dobre cerorodaCeroA única casela verde, que non está cuberta por ningunha aposta simple, de ducia nin de columna; a orixe da vantaxe da casa. Tamén: cero único, 0.Ler todo →, as cifras correspondentes son 1 de cada 359 275, 1 de cada 9 243 e 1 de cada 368. A distancia entre «o 17» e «algún número» é outra vez o problema do aniversariomatemáticasProblema do aniversarioCantas persoas fan falta para que dúas compartan probablemente aniversario, ou cantas xiradas para que un número probablemente se repita. Nunha roda de 37 caselas abondan 8 xiradas para que unha repetición sexa máis probable ca non.Ler todo →: hai 37 formas de levar unha sorpresa.
Pausa de humor
Algo se repite cedo. Ese algo é aleatorio.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. «Ask the Wizard», preguntas sobre a ruleta.