Problema: o límite da mesa
Unha Martingala de $10 nunha mesa de $500. Con que frecuencia rompe, canto perde cando o fai, e axuda subir o límite?
Seis perdas seguidas rómpena: 1,8% por ciclo, arredor do 60% das sesións de 100 xiradas. A rotura custa $630. Subir o límite a $5 000 fai a rotura máis rara (0,25% por ciclo) e maior ($5 110). A perda esperada por unidade apostada é do 2,70% con calquera límite.
O problema
Un xogador aposta $10 ao vermelloapostaVermelloAposta simple aos 18 números vermellos. En francés: rouge.Ler todo → dobra o importe tras cada perda e volve ao inicial tras un acerto. O máximo da mesa é $500. (a) Cantas perdas consecutivas rompen a progresiónestratexiaProgresiónCalquera regra que cambia a aposta segundo os resultados anteriores. As progresións negativas súbena tras as perdas; as positivas, tras os acertos.Ler todo →? (b) Cal é a probabilidadematemáticasProbabilidadeA posibilidade dun resultado, de 0 a 1 ou do 0% ao 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Ler todo → por ciclo? (c) Canto se perde na rotura? (d) Como afecta ás respostas un límite de $5 000? (e) Algún límite fai rendible o sistema?
Solucións (a)–(c)
Importes: 10, 20, 40, 80, 160, 320. O sétimo sería 640 > 500, así que seis perdas rómpena. (b) p(perda) = 19/37 ao vermello; (19/37)⁶ = 0,0183, arredor do 1,8% por ciclo. Un ciclo dura arredor de dúas xiradas de media, así que unha sesión de 100 xiradas ten uns 50 ciclos e p(polo menos unha rotura) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, que son 63 unidadesdiñeiroUnidadeA aposta base coa que traballa un sistema ou un xogador. As progresións descríbense en unidades para que valgan en calquera mesa.Ler todo → base, fronte aos $10 que o ciclo tentaba gañar.
Solución (d)
Con $5 000: permítense importes ata 2 560; o décimo importe, 5 120, non se admite. Nove perdas rómpena: (19/37)⁹ ≈ 0,25% por ciclo, arredor do 11% das sesións de 100 xiradas. Perda na rotura: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. O xogador comprou unha catástrofe máis rara a cambio dunha maior. Ao longo de moitas sesións o custo esperado das roturas é p × perda ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 por ciclo co límite de $500 e 0,0025 × 5 110 = $12,8 con $5 000; é, salvo redondeos, o mesmo número, e é a perda esperadamatemáticasPerda esperadaO valor esperado multiplicado polo total apostado; o que se perde de media nunha sesión ou nun período.Ler todo → do ciclo máis os $10 que achegan os ciclos gañadores.
Solución (e)
Non. Perda esperada por ciclo = (importe total esperado no ciclo) / 37, con calquera límite, porque cada aposta é −1/37 de si mesma. O límite só decide como se reparte a perda entre moitos acertos pequenos e poucas perdas grandes. Sen límite e cun capital de xogodiñeiroCapital de xogoO total reservado para xogar. Xestionar o capital é decidir canto del arriscar en cada aposta e en cada sesión.Ler todo → infinito a progresión «funcionaría», no sentido de que nunca rompería, e tamén apostaría unha cantidade ilimitada cunha perda esperada do 2,70% desa cantidade ilimitada. O límite da mesamesaLímite da mesaA aposta mínima e a máxima permitidas. A máxima é a que detén as progresións que dobran.Ler todo → non é o que impide que a MartingalaestratexiaMartingalaProgresión que dobra a aposta despois de cada perda. Mira a sección de estratexias para ver o que fai e o que non fai.Ler todo → funcione. A aritmética si.
Dúas mesas reais
O exemplo de Thorp é unha mesa de $1 cun máximo de $1 000, onde un xogador espera gañar $30 para a cea, un dólar de cada vez. Os importes 1, 2, 4 … 512 permiten dez apostas, así que dez perdas seguidas rompen a progresión: unha vez cada 785 ciclos nunha roda europea (unha cada 613 nunha americana), cun custo de $1 023. Os trinta ciclos saen todos ben o 96,2% das veces. O outro 3,8% perde uns $1 000, e o resultado medio da tarde é −$9,17, que é exactamente 1/37 dos $339 que apostan de media os trinta ciclos. Unha mesa de $5 cun máximo de $2 000 non é distinta: importes ata $1 280 permiten nove apostas, e a rotura chega unha vez cada 403 ciclos nunha roda europea (unha cada 323 nunha americana) e custa $2 555.
Un xogador rico
Dálle á progresión un capital abundante en vez dun límite baixo: 1 000 unidades, base dunha unidade e 1 000 xiradas ao vermello, recomezando cunha unidade sempre que a seguinte duplicación sexa maior ca o que queda. Simulamos un millón desas tardes. Nunha roda europea o 52% remata por diante, o 21% perde todo, e o resultado medio é −124 unidades. Mesmo nun xogo sen cerorodaCeroA única casela verde, que non está cuberta por ningunha aposta simple, de ducia nin de columna; a orixe da vantaxe da casa. Tamén: cero único, 0.Ler todo →, onde toda aposta é xusta, só un 60% aproximadamente remataría por diante. A tarde habitual é unha pequena ganancia; a media páganna as tardes que acaban en cero.
A lección
Os casinos poñen límites para limitar a súa propia varianzamatemáticasVarianzaUnha medida de canto se dispersan os resultados arredor do valor esperado. Alta no pleno, baixa nas apostas simples.Ler todo →, non para derrotar sistemas. Derrotar a Martingala é un efecto secundario que lles alegra ter, e a aritmética derrotaríaa igual. Un xogador que pensa que o límite é o problema localizou o precipicio e confundiuno coa pendente.
Fórmula
Preguntas
Permite chegar a un límite máis alto, onde a rotura é máis rara e maior. A perda esperada por unidade apostada non cambia.
Importes 10, 30, 70, 150, 310: o límite de $500 alcánzase tras cinco perdas, e a rotura custa $570. O mesmo 2,70%.
Para que un xogador non poida apostar máis do que a reserva do casino pode pagar con comodidade. Xestión da varianza.
Xogos de matemáticas
Proba primeiro por conta túa. Cada solución está pregada; ábrea cando esteas listo.
Unha MartingalaestratexiaMartingalaProgresión que dobra a aposta despois de cada perda. Mira a sección de estratexias para ver o que fai e o que non fai.Ler todo → empeza con $100 ao vermelloapostaVermelloAposta simple aos 18 números vermellos. En francés: rouge.Ler todo → e permítese como máximo n apostas por ciclo: despois de n perdas seguidas réndese e comeza de novo. Escribe o resultado medio dun ciclo como unha fórmula en n, e calcúlao para 5, 6 e 7 apostas nunha roda europea.
Amosar a solución
Resposta A media é 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 con 5 apostas, −$17,35 con 6 e −$20,52 con 7. Permitir máis apostas empeora o ciclo medio, non o mellora.
Un ciclo gaña $100 salvo que as n apostas perdan, o que ocorre cunha probabilidade de qⁿ, onde q = 19/37. Cando perden todas, as apostas 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ suman 100 × (2ⁿ − 1). Así que a media é 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Aquí 2q = 38/37, algo máis de 1, así que (2q)ⁿ medra con n e a media cae: n = 5 dá 1,1426 e −$14,26; n = 6 dá 1,1735 e −$17,35; n = 7 dá 1,2052 e −$20,52. Unha escada máis longa perde menos a miúdo, no 3,6%, 1,8% e 0,9% dos ciclos, pero cada perda é o dobre de grande, e pasa máis diñeiro pola mesa en cada ciclo, ao 2,70% de cada aposta.
Nunha roda americana 2q = 40/38 e as cifras son −$29,24, −$36,04 e −$43,20 (Taylor, 2021). Nun xogo sen cerorodaCeroA única casela verde, que non está cuberta por ningunha aposta simple, de ducia nin de columna; a orixe da vantaxe da casa. Tamén: cero único, 0.Ler todo → 2q = 1, e cada ciclo dá de media exactamente cero, por longa que sexa a escada.
A «Grande Martingala» duplica a aposta despois dunha perda e engade unha unidadediñeiroUnidadeA aposta base coa que traballa un sistema ou un xogador. As progresións descríbense en unidades para que valgan en calquera mesa.Ler todo →, así que as apostas son 1, 3, 7, 15, 31 … Canto gañas cando a primeira vitoria chega na 1.ª, 2.ª, 3.ª ou k-ésima aposta? Cunha unidade de $10 e un máximo de $500, con que frecuencia se rompe un ciclo, e canto custa de media un ciclo?
Amosar a solución
Resposta Unha vitoria na aposta k deixa k unidades de ganancia: +1, +2, +3 e así sucesivamente. Con $10 e $500 o ciclo rompe despois de cinco perdas, o 3,57% dos ciclos, por −$570. De media un ciclo perde $2,32 de $85,73 apostados: 2,70%.
A aposta k é 2ᵏ − 1 unidades: 1, 3, 7, 15, 31. As primeiras k − 1 apostas suman 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Unha vitoria na aposta k paga 2ᵏ − 1, así que o ciclo remata (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unidades por riba: unha unidade extra por cada perda antes da vitoria.
Cunha unidade de $10 as apostas son $10, $30, $70, $150 e $310; a seguinte, $630, supera o máximo de $500. Cinco perdas seguidas, (19/37)⁵ = 3,57%, custan 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Media: as vitorias achegan $10 × k cunha probabilidade de (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 para k = 1 a 5, e a ruptura leva $570 cunha probabilidade do 3,57%; en conxunto −$2,32. O diñeiro apostado é de media $85,73 por ciclo, e 2,32/85,73 = 2,70%. A Martingala ordinaria na mesma mesa rompe despois de seis perdas, o 1,83% dos ciclos, por −$630, e perde $1,74 de $64,20 apostados: de novo 2,70%.
Un xogador planea unha Martingala ao vermello cunha primeira aposta de $1 nunha mesa co límite en $1 000, así que son posibles dez apostas: $1, $2, $4 e así ata $512. Con que frecuencia perde un ciclo as dez, canto tarda isto de media, e con que frecuencia remata así unha noite de 200 apostas?
Amosar a solución
Resposta Un ciclo perde as dez arredor dunha vez de cada 784, o que custa $1 023. Son arredor de 1 600 apostas de media, e unha noite de 200 apostas topa co muro arredor do 11% das veces. Un ciclo aínda perde $0,31 de media de $11,31 apostados: 2,70%.
Unha aposta ao vermello perde cunha probabilidade de 19/37, o cero incluído. Dez seguidas: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, arredor de 1 de cada 784. As apostas 1 + 2 + 4 + … + 512 suman $1 023.
Un ciclo leva 2,05 apostas de media, así que 784 ciclos levan arredor de 1 600 apostas. Contando xirada a xirada, unha racha de dez perdas aparece nalgún momento de 200 apostas o 11,3% das veces.
Entre desastres o xogador gaña $1 por ciclo: arredor de $783 antes do malo, despois −$1 023, arredor de −$240 en todo o treito. Por ciclo: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Diñeiro apostado por ciclo: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. E −0,31/11,31 = −2,70%.
Compara cunha primeira aposta de $10 cun límite de $500, seis apostas: o muro chega unha vez cada 55 ciclos, e unha noite de 200 apostas tópase con el o 84% das veces. Un límite máis alto fai o desastre máis raro e maior, non máis barato.
Pausa de humor
Máis rara e maior, con cada límite. O produto é constante.
Fontes
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.