Probabilidade das rachas na ruleta
As rachas longas dunha mesma cor son habituais. Tampouco din nada sobre a xirada seguinte.
Cinco vermellos seguidos: 2,7%. Dez: 0,074%. Nunha sesión de 200 xiradas, unha racha de seis dunha mesma cor aparece na maioría das sesións.
Con que frecuencia chega unha racha de perdas
Unha aposta simple nunha roda cun só cero perde 19 xiradas de cada 37. Cada fila é a probabilidade de que unha racha dada de xiradas sexa toda de perdas, e o que levaba perdido entón un xogador de Martingala, que dobra despois de cada perda.
| perdas seguidas | probabilidade | aprox. 1 de cada | perdido ata agora | seguinte aposta |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
A probabilidade é 19/37 multiplicado por si mesmo unha vez por cada perda, contando desde unha xirada dada. Unha sesión longa ten moitas xiradas onde pode comezar unha racha así, polo que nunha noite é moito máis probable do que sugire unha soa fila.
Unha soa racha
A probabilidadematemáticasProbabilidadeA posibilidade dun resultado, de 0 a 1 ou do 0% ao 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Ler todo → de que nas k xiradas seguintes saia sempre vermelloapostaVermelloAposta simple aos 18 números vermellos. En francés: rouge.Ler todo → é (18/37)ᵏ. Dúas: 23,7%. Cinco: 2,7%. Dez: 0,074%, ao redor de 1 de cada 1 350. Vinte: 1 de cada 1,8 millóns. Vinte e seis, o récord de Montecarlo: 1 de cada 137 millóns. Son as probabilidades dunha racha concreta que comeza nunha xirada concreta, que é a pregunta que case ninguén se fai de verdade.
Nunha sesión
A pregunta que a xente quere facer é «aparecerá nalgún momento da miña sesión unha racha de k?», e a resposta é moito maior ca (18/37)ᵏ, porque unha sesión de 200 xiradas ofrece case 200 lugares para que unha racha comece. Unha racha de seis ou máis da mesma cor, vermello ou negroapostaNegroAposta simple aos 18 números negros. En francés: noir.Ler todo →, aparece nunha sesión de 200 xiradas ao redor do 94% das veces; de oito ou máis, ao redor do 47%; de dez ou máis, ao redor do 14%. Se nomeas a cor de antemán, as probabilidades baixan ata preto do 75%, o 27% e o 7%. Quen se senta unha tarde enteira verá rachas longas todas as tardes.
Por que lle importa á Martingala
Toda progresiónestratexiaProgresiónCalquera regra que cambia a aposta segundo os resultados anteriores. As progresións negativas súbena tras as perdas; as positivas, tras os acertos.Ler todo → negativa ten unha lonxitude de racha que a rompe: seis perdas desde unha base de $10 cun límite de $500, dez no FibonacciestratexiaFibonacciProgresión que segue a sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: un paso adiante tras unha perda, dous atrás tras un acerto.Ler todo →, cinco ao triplicar nas duciasapostaDucia1–12, 13–24 ou 25–36; paga 2:1.Ler todo →. A probabilidade dunha racha perdedora de seis na aposta simple é (19/37)⁶ ≈ 1,8% por intento, e unha sesión de 200 xiradas contén quizais 100 intentos, así que a quebra chega en preto de catro sesións de cada cinco desa duración. A probabilidade das rachas na ruleta é a razón de que o precipicio non sexa raro.
Números quentes e fríos
A mesma aritmética vale para os plenosapostaPlenoUn só número; paga 35:1.Ler todo →. En 300 xiradas, o reconto esperado por número é 8,1; a desviación típicamatemáticasDesviación típicaA raíz cadrada da varianza; a distancia típica dun resultado respecto ao valor esperado.Ler todo → é preto de 2,8. Algún número amosará 15 acertos e outro 2 só por azar, sempre. Un panel de resultados que destaca os números «quentes» destaca a parte alta dunha distribución normal. O Laboratorio explica cantas xiradas fan falta para que un número quentemitoNúmero quenteUn número que saíu ultimamente máis do esperado. Nunha roda equilibrada non predí nada.Ler todo → signifique algo (miles, dunha roda identificada).
A independencia é o fundamental
Unha racha de dez vermellos non fai máis probable o negro, e tampouco fai máis probable o vermello. Ambos son 18/37. As rachas son unha propiedade das secuencias aleatorias e serían sospeitosas se faltasen: unha secuencia de 200 xiradas sen ningunha racha máis longa ca catro sería unha proba moito máis forte de manipulación ca unha cunha racha de doce.
Fórmula
Preguntas
Os 26 negros de Montecarlo o 18 de agosto de 1913 son o caso famoso. En 1943 informouse de 32 vermellos seguidos nun casino estadounidense. Ambos os casos son coherentes co azar, dado o número de xiradas que os casinos fan.
É 18/37 nos dous casos. Aposta o que diga o teu plan, ou nada.
Non. O nesgo vese en que algunhas caselasequipamentoCaselaCada un dos 37 compartimentos numerados do rotor. Tamén: oco, cela.Ler todo → saen máis a miúdo ao longo de miles de xiradas, non en rachas dunha cor.
Xogos de matemáticas
Proba primeiro por conta túa. Cada solución está pregada; ábrea cando esteas listo.
Cantas xiradas dunha roda europea fan falta, de media, para que cada un dos 37 números saia polo menos unha vez?
Amosar a solución
Resposta Arredor de 155 xiradas de media; a mediana é 147.
Conta a espera un número novo detrás doutro. A primeira xirada sempre amosa un número novo. Cando xa viches 1 número, 36 caselasequipamentoCaselaCada un dos 37 compartimentos numerados do rotor. Tamén: oco, cela.Ler todo → de 37 son novas, así que o seguinte número novo tarda 37/36 xiradas de media. Cando xa viches k números, tarda 37/(37 − k).
Soma as esperas: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 xiradas.
A maior parte está no final. Só o último número tarda 37 xiradas de media, e os últimos cinco arredor de 85. Nunha roda americana a mesma suma dá arredor de 161. Este é o problema do coleccionista de cupóns; a mesma media sae do cálculo habitual.
En 37 xiradas dunha roda europea, unha por casela, cantos números diferentes debes esperar ver?
Amosar a solución
Resposta Arredor de 23,6. Máis ou menos un terzo dos números, uns 13, non saen nunca.
Colle un número, digamos o 17. En cada xirada non sae cunha probabilidade de 36/37, así que falla as 37 xiradas cunha probabilidade de (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Todos os números teñen a mesma probabilidade, así que de media faltan 37 × 0,363 ≈ 13,4 números e saen 37 − 13,4 ≈ 23,6, moitos deles dúas veces ou máis.
Os xogadores de ruleta chámanlle a lei dos terzos. Non é ningunha lei, só a aritmética das repeticións: nunha serie tan longa coma a roda, arredor dun terzo dos números quedan sen saír, nunha roda equilibrada como en calquera outra. Con 38 caselas a proporción tamén é (37/38)³⁸ ≈ 0,363; para unha roda grande achégase a 1/e ≈ 0,368.
Un amigo móstrache dúas listas de 50 cores, vermelloapostaVermelloAposta simple aos 18 números vermellos. En francés: rouge.Ler todo → ou negroapostaNegroAposta simple aos 18 números negros. En francés: noir.Ler todo →, e di que cada unha sae dunha roda sen contar os cerosrodaCeroA única casela verde, que non está cuberta por ningunha aposta simple, de ducia nin de columna; a orixe da vantaxe da casa. Tamén: cero único, 0.Ler todo →. Unha cambia de cor 25 veces e a súa racha máis longa é de seis. A outra cambia 35 veces e nunca pasa de tres. Cal das dúas está inventada?
Amosar a solución
Resposta A segunda. Unha lista real cambia arredor de 24 ou 25 veces. Unha con 35 cambios aparece arredor dunha vez de cada 500 listas, e unha sen ningunha racha de máis de tres, arredor de dúas de cada 100.
Cada cor nova ou repite a anterior ou cambia, metade e metade, así que 49 ocasións de cambiar dan 24,5 cambios de media, máis ou menos 3,5. Trinta e cinco están tres desas desviacións por riba da media; unha roda equilibrada produce tantos cambios arredor dunha vez de cada 500 listas.
As rachas contan o mesmo. Unha lista real de 50 ten unha racha de catro ou máis arredor do 98% das veces, e a súa racha máis longa adoita ser de cinco ou seis.
A xente á que se lle pide inventar unha lista aleatoria cambia demasiado, porque unha racha de catro ou cinco lles parece un patrón. Taylor (2021) amosa o mesmo indicio en listas de caras e cruces inventadas por estudantes: o azar real ten máis rachas do que a xente espera.
Un libro de historias de casino fala dun xogador cuxo número saíu cinco veces seguidas e chámao récord. Que raro é isto nunha roda europea? E con que frecuencia debería pasar nalgún lugar dun casino con 20 mesas, cada unha con 40 xiradas por hora, día e noite?
Amosar a solución
Resposta Un número escollido de antemán, cinco veces seguidas: 1 entre 69 millóns. Calquera número que, tras saír por primeira vez, repita catro veces máis: 1 entre 1,87 millóns. Ese casino fai arredor de 7 millóns de xiradas ao ano, así que debería ver unha racha de cinco tres ou catro veces ao ano.
Un número escollido de antemán sae cunha probabilidade de 1/37 en cada xirada, así que cinco seguidas teñen unha probabilidade de (1/37)⁵ = 1 entre 69 343 957. Pero ninguén escolle o número de antemán. Saia o que saia primeiro, as catro xiradas seguintes deben repetilo: (1/37)⁴ = 1 entre 1 874 161.
20 mesas × 40 xiradas × 24 horas × 365 días = 7 008 000 xiradas ao ano. Cada xirada pode iniciar unha racha, así que o casino espera 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 rachas de cinco ao ano.
Non existe ningún récord oficial deste tipo, nin fai falta: un suceso raro nunha mesa é rutina nun casino enteiro, e as historias cóntanse sobre a mesa onde pasou. A historia, en Goldman (2007), sitúase nunha roda de dobre cero, onde as cifras son 1 entre 79 millóns e 1 entre 2,09 millóns.
Pausa de humor
O azar ten este aspecto: rachas longas.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.