Risco de ruína

A pregunta

Tes a unidadesdiñeiroUnidadeA aposta base coa que traballa un sistema ou un xogador. As progresións descríbense en unidades para que valgan en calquera mesa.Ler todo → de capital de xogodiñeiroCapital de xogoO total reservado para xogar. Xestionar o capital é decidir canto del arriscar en cada aposta e en cada sesión.Ler todo → e queres chegar a a + b unidades, apostando unha unidade cada vez nunha aposta simpleapostaAposta simpleVermello/negro, impar/par, baixos/altos. 18 números; paga 1:1.Ler todo → cunha probabilidadematemáticasProbabilidadeA posibilidade dun resultado, de 0 a 1 ou do 0% ao 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Ler todo → de gañar p = 18/37 e de perder q = 19/37. Cal é a probabilidade de chegar ao obxectivo antes de chegar a cero? A resposta calculárona Pascal, Fermat e Huygens na década de 1650 e é un dos resultados máis antigos da probabilidade.

Blaise Pascal: a lenda da roda da ruleta

A fórmula da ruína do xogador

P(chegar ao obxectivo) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). O risco de ruínamatemáticasRisco de ruínaA probabilidade de perder todo o capital de xogo antes de alcanzar un obxectivo ou un número de xiradas.Ler todo → é un menos esa probabilidade. Con q/p = 19/18 ≈ 1,0556, a razón medra exponencialmente co número de unidades, así que a fórmula castiga con dureza as unidades pequenas: canto máis apostas fan falta para chegar ao obxectivo, máis veces se paga polo camiño a peaxe do 2,70%.

Como lelo

As unidades pequenas fan dano. Tentar dobrar $500 con apostas de $10 sae ben o 6% das veces; cunha soa aposta de $500 sae ben o 48,6% das veces. O xogo audaz, con menos apostas e maiores, maximiza a probabilidade de acadar un obxectivo nun xogo de esperanza negativa, porque minimiza o número de veces que se aplica a vantaxe. Tamén maximiza a varianzamatemáticasVarianzaUnha medida de canto se dispersan os resultados arredor do valor esperado. Alta no pleno, baixa nas apostas simples.Ler todo → do que che pasa, e remata a noite axiña. O teorema chámase «o xogo audaz é óptimo» e demostrárono Dubins e Savage en 1965.

Onde comezou o problema

A pregunta é máis antiga ca a ruleta. En 1656, Pascal propúxolle a Fermat un enigma: dous xogadores lanzan tres dados, cada un con 12 pezas; un lanzamento de 11 move unha peza nun sentido e un de 14 no outro. Os dous resolvérono, e Huygens, que soubo del por unha carta do matemático Pierre de Carcavi, publicouno en 1657 como quinto problema do primeiro libro sobre probabilidade, coa resposta e sen demostración. O once pode saír de 27 xeitos e o catorce só de 15, así que cada peza se move a favor do primeiro xogador 9 de cada 14 veces, e a fórmula anterior, con 12 pezas cada un, fai que sexa unhas 1 157 veces máis probable que gañe todo ca que o perda todo. Unha vantaxe do 2,70% é moito menor, pero a mesma fórmula amosa o que fai ao longo de moitas apostas.

Unha aposta audaz real

En abril de 2004, Ashley Revell, un mozo inglés, vendeu case todo o que tiña, roupa incluída, e levou $135 300 ao Plaza de Las Vegas. Despois dunhas apostas pequenas, puxo a cantidade enteira no vermelloapostaVermelloAposta simple aos 18 números vermellos. En francés: rouge.Ler todo →, unha soa vez. A bólaequipamentoBólaA bóla pequena que se lanza pola canle en sentido contrario ao rotor. As modernas son de ivorina ou de teflón, de 18–21 mm.Ler todo → caeu no vermello 7 e saíu con $270 600. Nunha roda de dobre cerorodaCeroA única casela verde, que non está cuberta por ningunha aposta simple, de ducia nin de columna; a orixe da vantaxe da casa. Tamén: cero único, 0.Ler todo →, aquela xirada única tiña unha probabilidade do 47,37% e custoulle $7 121 de media, a vantaxe do 5,26% nunha soa aposta. Repartindo o capital en apostas de $10, o mesmo obxectivo sería case inalcanzable. O xogo audaz non fai boa a aposta; faina o máis curta posible.

Risco de ruína sen obxectivo

Se simplemente xogas ata quedar sen nada ou paras despois de N xiradas, a pregunta pasa a ser «cal é a probabilidade de que o meu capital toque cero en N xiradas?». Non hai forma pechada para un N xeral, pero os simuladores deste sitio calcúlana: un capital de $500 a $10 ao vermello case nunca se esgota en 100 xiradas (menos do 1%), esgótase preto do 9% das veces en 500 xiradas e preto do 95% das veces en 5 000. Sen regra de parada, a probabilidade tende ao 100%, que é a versión a longo prazo da vantaxe da casamatemáticasVantaxe da casaA parte de cada aposta que o casino se queda de media: o 2,70% na ruleta europea.Ler todo →.

Converxencia a longo prazo: a lei dos grandes números na ruleta

Canto dura e canto se pode ir por diante

Dous resultados clásicos máis responden a preguntas que os xogadores fan de verdade. Sen obxectivo, as apostas simples constantes duran de media 37 xiradas por cada unidade de capital nunha roda europea e 19 nunha americana, porque cada xirada leva de media 1/37 dunha unidade (1/19 nunha roda americana): 100 unidades duran 3 700 xiradas de media, aínda que a metade das sesións así rematan antes das 3 134 (consulta Duración e custo dunha sesión). E por grande que sexa o capital, a probabilidade nunha roda europea de ir algunha vez k unidades por diante é (18/19)ᵏ. Iso é o 95% para unha unidade e o 58% para dez, pero ningún capital, por profundo que sexa, dá unha probabilidade do cincuenta por cento de ir algunha vez 13 unidades por riba; nunha roda americana a probabilidade é (9/10)ᵏ e baixa da metade en 7 unidades.

Duración e custo dunha sesiónRuleta americana: roda e regras

Un capital para ter unha probabilidade do cincuenta por cento

Dá a volta á pregunta: canto hai que levar para ter polo menos un cincuenta por cento de probabilidade de gañar unha cantidade dada antes de perdelo todo? Para unha ganancia pequena, non moito. Para unha maior, o capital necesario sobe en picado e, a partir dun punto, ningún capital abonda, porque mesmo un infinito dá menos dun cincuenta por cento de probabilidade de ir algunha vez tan por diante. Taylor (2021) di o mesmo doutro xeito: nunha roda americana, para ter un cincuenta por cento de probabilidade de chegar a 100 unidades hai que empezar con 94, arriscando 94 para gañar 6. Nunha roda europea farían falta 88.

A lección práctica

Decide o que intentas facer. Se o obxectivo é unha ganancia concreta, aposta forte e poucas veces. Se o obxectivo é unha tarde longa, aposta pouco e asume que a vantaxe se levará o seu 2,70% dun volume apostadodiñeiroVolume apostadoO total apostado nunha sesión ou nun período, contando as ganancias que se volven apostar. En inglés tamén «handle» ou «action».Ler todo → grande. Se o obxectivo son as dúas cousas, algo ten que ceder, e adoita ser o obxectivo.

Fórmula

Preguntas